Введение
Кристаллизация сахара – это нелинейный,
нестационарный процесс. От количества
растворенной сахарозы зависит либо дальнейшее
растворение твердой фазы, либо ее рост. Сахароза в
ненасыщенном ею растворе продолжает растворяться,
а в пересыщенном – расти [1]. В поликомпонентном
производственном растворе растворенную сахарозу
можно условно разделить на две части. Первая
соединена с водой, а вторая связана с несахарами.
Многочисленными исследованиями установлено,
что относительно небольшая концентрация
несахаров в поликомпонентной жидкой фазе снижает
растворимость сахарозы, а их высокая концентрация
резко увеличивает коэффициент ее раствори-
мости [1–3]. Предполагается, что в поликомпо-
нентном сахарном растворе образуется сложное
неустойчивое химическое соединение из сахара (СХ),
несахара (НСХ) и воды (H2O):
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн у М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV   CV  M  CV  M M, Mсх, 1 2 1 2 КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В K dm K K K K K K K K d F

          
(1)
где m, n, k – стехиометрические коэффициенты; 2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . у кр н М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, ,
) k
HOH (1) о K , р K
где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
2 3
2
П П Н
Н
l
  
 
 
 , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк мк нсх в кр к M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  M         1– 1– 1– М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   M  M  M K  K K
− скорости реакций образования и разложения
неустойчивого вещества.
В разбавленном поликомпонентном растворе
реакция сдвинута вправо, в пересыщенном – влево,
в насыщенном растворе система находится в
равновесном состоянии. Эта гипотеза является
основной при объяснении происхождения мелассы [1].
Зарождение и рост кристаллической фазы без
разрыва межмолекулярных водородных связей между
сахарозой и водой невозможны. В лабораторных
кристаллах сахара, которые получены при
незначительных пересыщениях из чистых растворов,
вода отсутствует. Но при получении товарного
сахара из производственных поликомпонентных
растворов некоторые молекулы воды (0,04 ± 0,15 %
к массе сахарозы) попадают в твердую фазу,
предположительно с неупорядоченными сахарными
ассоциатами. В статье I. Z. Maria показано, что для
роста кристаллической фазы необходим разрыв
определенного количества молекулярных связей
между сахарозой и водой в растворе и переход
на новый энергетический уровень молекул
сахара [2]. Определенную роль в образовании
кристаллической фазы играют явления флуктуации.
Благодаря им повышается энергия активации части
сталкивающихся молекул. Они могут выходить
3 K.G. Razumovsky Moscow State University of Technologies and Management , Moscow, Russia
Received: November 25, 2020 Accepted: X X, 2021
*е-mail: arapovdv@gmail.com
© D.V. Arapov, V.A. Kuritsyn, S.M. Petrov, N.M. Podgornova, M.A. Zaytseva, 2021
Abstract.
Introduction. The present research featured industrial sugar crystallization. The article introduces a generalized mathematical model
of specific growth rate of sugar crystals depending on temperature, solids, and the purity of solution, as well as on the concentration
and average size of crystals. The model includes the probabilistic component of growth rate of monocrystals and the reduced
adjustment of the constrained crystal growth depending on the abovementioned as-pects.
Study objects and methods. The research focused on mass crystallization of sucrose, including the growth rate of monocrystals and
the number of crystals in the fill mass. The obtained experimental data were processed using nonlinear programming.
Results and discussion. 421 experiments made it possible to develop a probabilistic mathematical model of specific mass growth rate
of sugar monocrystals and its dependence on the solution temperature, purity, and solids content. Model error: ± 11.3%. The model
covers the temperature range, concentration of solids, and purity of the solution. The proximity of crystals was calculated according to
the dependence of the growth rate on their concentration and the average size (error: ± 1.3%). The adjustment range: concentration of
crystals = 5–60%, average size = 0.25–1.50 mm.
Conclusion. The present generalized mathematical model of crystallization considered the temperature, as well as the purity and solids
content in the fill mass, the concentration of sucrose crystals and their average size. The research compared the effect of linear size
and concentration of sugar monocrystals on the calculated and experimental sizes of specific mass growth rate and the dimensionless
adjustment of growth rate. The calculated sizes proved to be close to the ex-perimental data, which showed adequacy to the developed
crystallization model. The research results can be used to optimize the process of mass sugar crystallization.
Keywords. Sugar, solubility, crystallization, growth rate
Funding. The research was performed on the premises of the Department of Higher Mathematics and Information Technologies,
Voronezh State University of Engineering Technologies (VSUET) .
For citation: Arapov DV, Kuritsyn VA, Petrov SM, Podgornova NM, Zaytseva MA. Specific Mass Growth Rate of Sugar Crystals:
Probabilistic Modeling. Food Processing: Techniques and Technology. 2021;51(1):39–52. (In Russ.). https://doi.org/10.21603/2074-
9414-2021-1-39-52.
41
Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52
из потенциальной ямы, преодолев энергетический
барьер. При столкновениях сахарозных частиц могут
образовываться ассоциаты: n 1 n A A A −
+ ←→ [3]. При
числе молекул в ассоциате 80–10 и размере около 2 нм
он становится зародышем и в дальнейшем может
служить центром отложения сахарозных молекул.
Выявлено нестационарное автокалитическое
образование зародышей сахарных кристаллов,
преобладание вторичного зародышеобразования
на конечной стадии роста твердой фазы, прямо
пропорциональная зависимость от температуры
как приращения кристаллической массы, так и
зародышеобразования, но с преобладанием скорости
приращения твердой фазы [4]. Состав твердой
фазы при массовой кристаллизации сахара зависит
от одновременно протекающих процессов роста
кристаллов, образования зародышей, их растворения,
агрегации и коагуляции ассоциатов, включений
маточного раствора и воды в кристаллы [4]. Средний
размер кристаллов зависит от пересыщения.
При высоких пересыщениях наблюдается
активное «склеивание» кристаллов в агрегаты, а
прироста кристаллической массы практически не
происходит. Более мелкие кристаллы твердой фазы
образуются при перемешивании поликомпонентного
раствора, которое немного снижает воздействие
пересыщения [1, 3].
Изучено отрицательное воздействие примесей на
приращение кристаллической фазы [5, 6]. Примесь
внедряется в кристаллическую решетку, снижает
скорость роста твердой фазы, нарушает габитус
кристалла с образованием дефектов кристаллической
решетки. В центре кристалла откладывается 80 %
посторонних включений несахаров [5, 6]. Твердая
фаза, которая образуется при самопроизвольной
кристаллизации, практически не имеет посторонних
включений. Установлено, что отложение несахаров
в кристаллической фазе обусловлено их высокой
положительной гидратацией [7].
Известно четыре основных теорий кристал-
лизации: диффузионная, молекулярно-кинетическая,
термодинамическая и дислокационная, описывающие
как непрерывный (диффузионная), так и дискретный
(остальные теории) рост твердой фазы [3, 8, 9].
Теория диффузионного роста описана в [3, 4,
10–14]. Согласно ей кристаллизация реализуется за
счет межфазного обмена и заключается в диффузии
к твердой фазе растворенных сахарозных молекул, их
адсорбции на кристалле с одновременным разрывом
водородной связи сахароза–вода и образованием
двумерной частицы, поверхностной диффузии
двумерных зародышей и последующего вхождения
их в кристаллическую 2решетку [3–5, 12, 13]: ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн у М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн М СV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, 1 2 1 2 КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ K dm K K K K K K K K d F

        
(2)
где D V и
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V K где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . у кр н мн М М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн мк М СV  Q  M CV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, − скорость роста, определяемая
диффузионной и кристаллохимической компонента-
ми соответственно, кг/м2·с; D k и
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , . у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M у М в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
K   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С 2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т
  
 
  
                   2,5 6 0,75 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T                   , 1 8  ,...,
        
11 0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
            
 2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 П
C Z Z Z Z T                  
2 10 2,6
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к Н к Н
к н
C Z Z Z N
T Z N    


            
      
   
2 4 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t Z
   
                 
2 3 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 отн об об об об кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a       
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;
CV t CV CV
                
− коэффициенты
компонент скорости роста, м/с; V C ,
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
2 2 КР D КХ K k k   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
k
2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             

    2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                   , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
            
 2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
П
C Z Z Z Z T                  
2 10 2,6
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к к Н к Н
к н
C Z Z Z N
T Z N   
 


                     
   
2 4 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t Z
   
                  
2 3 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a отн об об об об кр кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l       
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;
CV t CV CV
                
,
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
2 2 КР D КХ K k k     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
1 k
2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
                  2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                   , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
П
C Z Z Z Z T                  
2 10 2,6
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к н
C Z Z Z N
T Z N   
 


                     
   
2 4 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t Z
   
                  
2 3 2 3 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a отн об об об об кр кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l        
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;
CV t CV CV
                
− плотность
в объеме раствора на границе твердой и жидкой фазы
и насыщенного раствора, кг/м3; n = 2 − порядок
реакции (кажущийся) [8, 9, 13]. Иногда считают, что
n = 1 (3)
D VÊDÕ K V = V = V
где K V − массовая скорость роста твердой фазы [3,
11, 14].
Установлено, что некоторая часть растворенного
вещества из-за постоянного движения границы
раздела фаз захватывается твердой фазой
непосредственно из пограничной зоны без участия
диффузии [9].
Полное время реакции роста кристаллической
фазы зависит от скоростей диффузии
в объеме раствора и на поверхности
твердой фазы, а также времени вхождения
двумерного зародыша в кристалл [13].
Невысокая скорость роста твердой фазы
наблюдается при небольшом пересыщении раствора.
Определяющей стадией в этом случае служит
реагирование сахарозных молекул с поверхностью.
С увеличением пересыщения раствора увеличивается
значимость процесса диффузии и он становится
определяющим.
Основанная на диффузионном механизме
детерминированная математическая модель для
описания удельной массовой скорости роста
сахарных кристаллов приведена в [8]: о K , р K
КХ кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
П Н
Н
 


где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
 . кр к        . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
экс
i K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
П Н С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
4
;
П Н
Н

 
 
 
 
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
  8
2 7
28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T k Q

  
     
 
   
         
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
 
13
exp
НСХ N
 
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
         2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
2
13780,2866Z / 11,4785
к Н
T Z

 
  
(4)
где
о , р K
кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
Н
Н
 


, где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  CV  Q  M CV  Q  M
. к         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
Н С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
                     
4
;
Н
Н

 
 
 
 
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
  8
2 7
29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T k Q

  
    
 
   
         
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
 
13
exp
НСХ N

   
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
          2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     (5)
− удельная скорость роста, кг/м2·с;
) ( ) ( ) m n k
CX HCX HOH (1) о K , р K
 n
КХ Р Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С d F      моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк мк нсх кр к  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M K    2
min,
экс

 

А
A
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C С C k С С C C
k С C С C k С C C K




  
  
             

           
               В  K
(2)
9 П Н   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   

  
                  
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
СV Т

  

  
 
     
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N
    8
6 0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
       
 
     
            
   
где 1 2 , D D K K 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н      
   
11 13
0,0275
exp 0,3761 exp
exp /
НСХ N N N
N  T
     

    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
2
10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z
Z T T Z N
              2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     ,
V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
1
6 3 Ш
экв
V

    
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. кр к         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
     . 1– мн мк мк в кр к CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
       
     
1
2
1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
3 1 2 4 2
2
3 6 3 7
exp
exp / exp
exp exp exp
КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
Н Н КХ Н П
ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K K K K K K k C C
C k С С C C
k С C k С C C K



  
  
           
       
            В  K
(2)
  3
2,6
14
12 2 13 1,788 0,6832 Н Н / ;
Т N Z

   
  
   
         
   2 17 18 exp , КХ П П   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
8
32 Н exp Н ,
Q

 
 
 
   
      
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ     
15 1,85
10 1 0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T

  
        
 
П C , Н C
    2 13 10 2,6
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
Z N


          (5)
− концентрации растворов (пересыщенного и
насыщенного), моль/кг.
Недостаток модели заключается в том, что
она не отображает вероятностный характер роста
твердой фазы. B. Bubnik и его соавторы наблюдали
диффузионный механизм роста при температурах
раствора больше 60 °C, а смешанный механизм при
более низких температурах [10].
Однако в рамках диффузионной теории
необъяснимы экспериментально установленные
многими исследователями моменты:
1) константа скорости реакции Kкх является функцией
от размера кристалла и изменяется при переходе от
одной грани к другой [1, 9];
2) при определенных условиях, которые устанавли-
ваются в процессе массовой кристаллизации, дисло-
кационный механизм роста проявляется всегда [9];
3) коэффициент диффузионного переноса изменяется
по поверхности грани [9, 12];
4) минимальная концентрация вещества определяется
в центре грани, а максимальная на ее углах [9, 12];
42
Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52
5) отложение слоев на кристаллических гранях
реализуется дискретными порциями [9, 10];
6) кристаллы, размер которых меньше 50 мкм, растут
при коэффициенте пересыщения ˃ 1,038 и только за
счет поверхностной реакции [15].
В книге J. W. Mullin выдвинуто предположение о
совместной одновременной реализации молекулярно-
диффузионного, послойного и блокового роста
кристаллической фазы, который достаточно
хорошо определяется при высоких коэффициентах
пересыщения [9].
При математическом описании процесса кристал-
лизации рассматривают скорость наращивания
кристаллической массы (массовую скорость) или
линейную скорость роста одиночного кристалла
либо множества кристаллов [3, 5, 8, 11, 16–21]. В
своей работе Я. Грабка привел базовые кинетические
зависимости между средним линейным размером
промышленного кристалла, его массой, площадью
поверхности и количеством кристаллов в 1 кг [18].
Достаточно точная (погрешность ± 4,6 %)
многопараметрическая регрессионная модель для
оценки размера промышленного сахарного кристалла
описана в [19]. В статье Y. Meng с соавторами
представлена гибридная математическая модель
процесса кристаллизации тростникового сахара,
используемая для управления и позволяющая
прогнозировать пересыщение маточного раствора,
его чистоту, содержание кристаллов и основные
параметры распределения кристаллов по разме-
рам [20]. Модель описана системой
дифференциальных, интегральных и алгебраических
уравнений баланса веществ утфеля, теплового
баланса, моментов распределения. Динамическая
модель, использующая программное обеспечение
(ПО) SysCAD, разработана для имитации работы
вакуум-аппарата периодического действия и
отображает зависимость пересыщения маточного
раствора от скорости испарения воды при обогреве
аппарата паром низкого давления [21]. Имитационная
модель процесса уваривания сахарного утфеля, в
которой установлена взаимосвязь между основными
технологическими параметрами, описана в [22].
В работе B. J. C. de Castro и др. с использованием
ПО EMSO разработана феноменологическая
модель, позволяющая определять концентрацию
кристаллов в утфеле, чистоту мелассы и утфеля
и распределение кристаллов по размерам [23].
Отмечается, что стоимость ПО EMSO составляет
значительную часть производственных затрат.
Управление работой вакуум-аппарата в пределах
ширины метастабильной зоны с использованием
механистических кинетических моделей реализовано
в [24]. Отмечается существенное улучшение
гранулометрического состава сахарного песка.
Основная трудность в изучении роста кристаллов
в промышленном производстве заключается в
отсутствии инструментов для непосредственного
измерения определяющих параметров процес-
са [25]. Инструменты SeedMaster, разработанные
K-Patents Oy, позволили реализовать непосредствен-
ное измерение перенасыщения, концентрации
кристаллов и чистоты межкристального раствора
[25, 26]. Учет этих измерений позволил разработать
многопараметрическую модель линейной скорости
роста сахарных кристаллов модульного типа.
Посредством системы дифференциальных уравнений
изменения размера кристалла, концентрации
кристаллов в утфеле и моментов случайной величины
(размера кристаллов) моделируется процесс
кристаллизации сахаристых веществ [27–29]. В работе
V. Myronchuk с соавторами на основе материального
баланса по сахарозе, несахарам, сухим веществам и
воде, а также полиномиальной модели растворимости
сахарозы в нечистых растворах рассчитывается
кристаллизация сахарозы при охлаждении [30].
Получено экспериментальное распределение
кристаллов желтого сахара по размерам в результате
политермической кристаллизации в системе
вертикального и горизонтального аппаратов.
Изменение фазового состояния пересыщенного
сахарного раствора осуществляется путем зарождения
и роста сахарных кристаллов. В кристаллизующейся
системе различают гомогенное образование
кристаллических зародышей (образование «муки») и
гетерогенный рост кристаллов вокруг искусственно
введенных и гомогенно образовавшихся зароды-
шей [31–33]. Для зарождения кристаллов могут
эффективно использоваться ультразвуковые
волны [34]. Отмечается существенное улучшение
гранулометрического состава кристаллического
сахара по сравнению с затравкой пудрой или пастой.
Скорость массовой кристаллизации сахарозы в
стесненных промышленных условиях в большой
степени зависит от среднего линейного размера
кристаллов (lкр) и их концентрации в утфеле (ϕ ).
Это установлено экспериментально и выявлено
теоретически [1, 3, 9, 10, 35–37]. Однако этот
вопрос находится на стадии изучения. С помощью
метода искусственных утфелей детальные
экспериментальные исследования данного вопроса
провели украинские ученые [36]. Но полученные
результаты использовать в промышленном
производстве затруднительно, ввиду того что
авторы не смогли получить математическую модель,
описывающую зависимость скорости кристаллизации
от этих характеристик.
Анализ литературных источников позволяет
сделать вывод, что процесс промышленной
кристаллизации сахара-песка имеет вероятностный
характер. В нем в кристаллы, кроме отдельных
молекул сахарозы, могут встраиваться в ассоциаты
43
Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52
этих молекул, молекулы и ионы воды и несахаров,
присутствующие в маточном растворе.
Целью работы является разработка вероятностной
математической модели, позволяющей описать
удельную массовую скорость роста твердой фазы с
учетом температуры поликомпонентного раствора,
концентрации в нем сухих веществ и сахара,
содержания кристаллов и их среднего линейного
размера.
Объекты и методы исследования
Вычислительные эксперименты проводились
в ФГБОУ ВО «Воронежский государственный
университет инженерных технологий» на кафедре
высшей математики и информационных технологий.
Экспериментальной основой вероятностной
модели удельной скорости роста сахарных кристаллов
стали выполненные за последние 70–80 лет
обширные исследования (421 опыт), опубликованные
известными учеными: А. Бригель-Мюллером,
Г. Вавринцем, И. А. Кухаренко, А. А. Герасименко
и П. В. Головиным, Ю. М. Жвирблянским,
М. И. Нахмановичем и И. Ф. Зеликманом,
А. Ван-Гуком и другими. Данные исследования
отличаются методиками: пересыщенный чистый
или поликомпонентный раствор находился как
в статическом, так и в динамическом состоянии;
прирост кристаллов измеряли путем взвешивания
пробы с высокой точностью на аналитических весах
разной конструкции [5, 8]. Для моделирования
нами отбирались только те опыты, авторы
которых исследовали зависимость удельной
массовой скорости роста Kкр от температуры,
концентрации сухих веществ и доброкачественности
пересыщенного раствора. При кристаллизации
у поверхности образца образуются восходящие
концентрационные потоки (рис. 1).
Критерий Архимеда при восходящих потоках
равен:
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D V Р k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР K dm d F    
кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d 
     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к М М М М  М
. . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q   . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M  м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                П 8 Н  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
 
3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
T Q СV Т

  
 
  
   
            
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2 19 20 21 exp П R   Q  Q       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
           
 
     
              
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K 8 
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 1,1107 Z Z
   2 Z    (5)
где
( ) ( ) n k
HCX HOH (1) о K , р K
n
Р Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V
V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С С
d F      

/ кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K  2
min,

 

А
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
П Н С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
               
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Т

  

  
 
    5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R 3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N
   8
6 0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

   
       
 
    
            
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1      
   
13
0,0275
exp 0,3761 exp
НСХ N N N N
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
П C , Н C
,
( ) ( ) m n k
HCX HOH (1) о K , р K
n
Р Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С d F      

моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк мк нсх кр к M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K  2
min,

 

А
A
рас , экс
i i K K
 
         
       1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
9 П Н  С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                     
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Т

  

  
 
    

5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R   3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N
   8
6 0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

   
       
 
     
            
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н       
   
13
0,0275
exp 0,3761 exp
НСХ N N N N
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
П C , Н C
– плотность пересыщенного и
насыщенного раствора; μ – вязкость динамическая
насыщенного раствора; g – ускорение свободного
падения.
Характерный размер кристалла l определяется
через диаметр эквивалентного кристаллу шара
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
6 Ш
экв
l d V

     
 
. . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M у М СV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M     1– 1– у у мн мн мк М  СV  M  CV  M в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K      1 2 1 2 2 3 2
2 2 5 2 exp exp exp КР D D КХ D П П Н КХ ЗХ K dm K K K K d F
k C C С C k С C k С 
        
            где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
2 1 10 11 12 Н Н D
k
                    2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т 2 17 КХ k   Q      2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; Н ЗХ РЗ k Q T T T k Q

                                 , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 15 0,1757875 10 1 В
K CV Q        
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
              314,578         
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z Z N
T Z N N

  
 





        
                    
   
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N N t N t Z
   

                        
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8) об

        
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV CV CV
                      
:
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . у кр н М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
             1
2
1 2 1 2 1 exp 6,45 2 2 3 1 2 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н K dm K K K
K K K K K k d F
k C C С C k С С C k С C k С C k С 


    
           
                      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  19 exp П R        8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где 1 2 , D D K K , K , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    
15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 В
K CV CV Q Q             
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                 2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N              
   
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9)         
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l
(6)
Объектом исследования был выбран
процесс массовой кристаллизации сахара на
основе производственных и искусственных
утфелей (28 экспериментов) [35, 36]. В опытах
И. К. Поперека и Ю. Д. Кота в качестве основы
твердой фазы использовались сахарозные кристаллы.
Размер кристаллов составил 0,25, 0,50, 1,00 и
1,50 мм, массовое содержание в утфеле 20–55 %.
Температура в опытах снижалась за два часа с
постоянной скоростью 10 °C/ч от 60 до 40 °C [36].
Массу кристаллической фазы после опыта
определяли взвешиванием. Условия кристаллизации
в опытах: пересыщение, скорость перемешивания,
продолжительность опытов и перепад температур
были одинаковы. Изменялось масса твердой фазы
относительно общего объема двухфазной системы.
Аналогичные эксперименты с поликомпо-
нентными сахарными растворами выполнил
коллектив исследователей под руководством
Ю. М. Жвирблянского [35]. В их опытах содержание
кристаллов в поликомпонентном пересыщенном
растворе изменялось в диапазоне 5–45 мас. %. В
обеих сериях экспериментов, которые дополняют
друг друга, получены гладкие функциональные
зависимости скорости роста твердой фазы от массовой
концентрации кристаллов в диапазоне 5–60 мас. %.
Было установлено монотонное уменьшение скорости
кристаллизации при увеличении содержания твердой
фазы. Выявленная гладкость и непрерывность
позволяет экстраполировать эксперименты
до концентрации твердой фазы 5 и 60 мас. %
соответственно [36]. Таким способом установили
максимальную и минимальную скорости роста
твердой фазы [36]. Максимальная скорость равна
1085 мг/(м2·мин) для Ì
ϕ
М = 5 мас. %, 1,5 êð l кр = 1,5 мм.
Эта величина подтверждается А. И. Требиным с
соавторами, которые исследовали скорость роста
одиночного кристалла [37]. Они установили скорость
роста равную 1100 мг/(м2·мин) при таких же
параметрах эксперимента, как и в [36].
Таким образом, скорость кристаллизации
множества кристаллов, содержащегося в сахарном
растворе в количестве 5 мас. % и менее, практически
равна скорости роста одиночного кристалла при
одинаковых условиях роста. Этот вывод не входит в
противоречие с теоретическими представлениями о
скорости роста твердой фазы в стесненных условиях
[1, 3, 9–11].
Рисунок 1. Схема проведения опытов при кристаллизации
сахарозы: 1 – кристалл; 2 – нить; 3 – сосуд с пересыщенным
раствором; 4 – восходящие концентрационные потоки
Figure 1. Scheme of experiments with sucrose crystallization:
1 – crystal; 2 – thread; 3 – vessel with supersaturated solution;
4 – ascending concentration flows
44
Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52
Влияние стесненности кристаллов в утфеле
на скорость кристаллизации может быть описано
безразмерной относительной скоростью роста, для
получения которой разделили данные опытов [36]
и [35] на величину 1085 мг/(м2·мин). Получили
значения безразмерных относительных скоростей
кристаллизации Kотн, представленных в таблице 1.
В работе Y. Meng с соавторами приведена величина
Kотн, которая равна 0,16 при объемной концентрации
кристаллов в утфеле 60 %, но без указания их
среднего размера [20]. Сравнение этой величины с
данными таблицы 1 при 50–60 мас. % показывает их
тесную близость.
Результаты и их обсуждение
В [8, 30] описана математическая модель
процесса массовой политермической кристаллизации
сахарозы, включающая материальный и тепловой
баланс аппарата. Однако материальный баланс не
учитывает стесненности кристаллов, включение в
них из пересыщенных поликомпонентных растворов
несахаров и воды. С учетом этих явлений уравнения
материального баланса кристаллизатора запишутся
следующим образом:
) k
HOH (1) о K , р K
, где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
2 3
2
g П П Н
Н
l
  
 
  
 , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . нсх кр к  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
min,
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
П П Н
Н

  
  
 
   
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
   8
0,75 2 7
27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

  
      
 
    
          
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
   

13
0,0275
0,3761 exp
НСХ N N
T
   
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
           2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                   
(5)
 
 
13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
0,9951
0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
Н к Н
T Z
T Z N
N
N

 
 



   
 
         (6)
 
4 2 2 2 2
4,022
0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
.
N t N t N t
 
           
об 
2 3 9 10 12  
5 6 7 8 11 13 a a a / ;
кр кр кр кр об кр кр  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4 
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
    
1,775 3
4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t CV t
          
м  кр  кр l
– общий баланс (7)
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  у М  в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
2 2 КР K k k   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т
  
 
  
   
             
    2,5 6 0,75 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                   , 1 8  ,...,
    

    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
            
 2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
П
C Z Z Z Z T                  
2 10 2,6
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к к Н к Н
к н
C Z Z Z N
T Z N   
 


                    
   
2 4 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t Z
   
                  
2 3 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 отн об об об об кр кр кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l       
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;
CV t CV CV
               
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у М СV  Q    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M       1– 1– 1– у у мн мн мк мк М  СV  M  CV  M  CV  в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
       1
1 2 1 2 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 exp exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ D П П Н Н КХ КХ ЗХ K dm K K K K K K d F
k C C С C k k С C k С 

           
                 где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
2 1 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н D
Т k
      
   
             2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т  2 17 exp КХ П k   QR        8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp ЗХ РЗ k Q T T T k Q

              
                       , 1 8  ,...,
   
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 15 0,1757875 10 1 0,27007 В
K CV Q         
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
               314,578 T Z         
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8) об
м кр  
  
         
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м   –
баланс по сахару (8)
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D V Р  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР D K dm k d F    
КР кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин.Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M       1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q    . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M  M м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
T Q СV Т

  
 
  
   
            
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2 19 20 21 exp П R   Q  Q        8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
           
 
     
              
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K НСХ K 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
  
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z Z
Z T T Z N
                  2 10 2,6
314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z N
T Z N 
               
   
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





     
 
                   
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
4028 10 0, 438 / .
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
  

                 
    
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 1 1,1 10 15 кр t
  
  
      

8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                  
 
м  кр  кр l
) k
HOH (1) о K , р K
где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
2 3
2
g П П Н
Н
l
  
 
  
 , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . нсх кр к M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
min,
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
П П Н
Н

  
  
 
   
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
   8
0,75 2 7
27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T k Q

  
      
 
    
          
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
  

13
0,0275
0,3761 exp
НСХ N N
T
   
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
           2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
 
2
13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
0,9951
0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
Н к Н
T Z
T Z N
N
N

 
 



   
        (6)
 
4 2 2 2 2
4,022
0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
.
N t N t N t
 
           
об 
2 3 9 10 12  
5 6 7 8 11 13 a a a / ;
кр кр кр кр об кр кр a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
    
1,775 3
15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t CV t
          
м  кр  кр l
–
баланс по несахарам (9)
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) K   D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Ar l
   
  
  . у у у мн мн мн кр н мк мк М СV Q M CV Q M  M CV   . у у мн мн кр н мк мк нсх кр М СV  M CV M  M CV  M  M в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П C  С 2 2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15
П П D
k T Q СV Т
   
                    2,5 6 0,75 24 24 25 26 27 28 exp 1 ЗХ k Q T T                 , 1 8  ,...,
      
11 0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N N  T
            
 2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 П
C Z Z Z                2 exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z Z 187,1981 exp 0,04857 10 0,9929 Н к Н к Н к Н к Н
к н
C Z Z Z N
T Z N    

                   
   
2 4 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t Z
   
                
2 3 2 0 1 2 3 4 5 6 7 отн об об об об кр кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a       
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 1 0,01 ;
CV t CV CV
               
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; C где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  где П  , Н  Ш V :
l d  . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M    1– 1– у у мн М  СV  M  CV в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
    1 2 2 2 2 2 5 2 exp exp КР D D D П П КХ K dm K K d F
k C C С k С C 
     
        где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
2 1 10 11 Н D
k
             2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т k       2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; ЗХ РЗ k Q T T T k                         , 1 8  ,...,
   
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ KN N N N
N N  T
       
    
0,1757875 В
K Q     2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z                    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н к Н к Н
к Н к к Н
к н
Z Z T T Z Z N
T Z N N
  
 




                            
   
2 4 2 2 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t N t Z
   

                      
2 3 2 3 9 10 12  0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a         
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1 0,01 ;
CV t t CV CV CV
                    
–
баланс по сухим веществам (10)
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у мн М СV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M        1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр М  СV  M  CV  M  CV  M в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
         1
2
1 2 1 2 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н КХ ЗХ K dm K K K K K K K d F
k C C С C k С С k С C k С C 


            
                    где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
 2 14
1 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н / D
Т k
Z
   
   
   
                2 4
2
15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
  15 0,1757875 10 1 0,27007 1 В
K CV CV Q           
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
               314,578 1,0509 Z T Z          
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       

                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)  100
м кр
об
м кр  

   

  
       
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
 nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР K dm d  

КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к М М М М . . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV    . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к СV  M CV M  M CV  M  M        . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
               1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C 



  
  
              
           
               1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                   
2 4
15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 19 20 21 exp П R   Q        8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , K 8  ,...,
   
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , C
  
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z Z
Z T T Z N
                  2 314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z N
T Z N 
              
   
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                   
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
4028 10 0, 438 / .
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
  

                   
    
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  1589,7 1 1,1 10 кр   
         

8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                  
  
м  кр  кр l
–
баланс по воде (11)
где M, M сх, M нсх, M в, M у, M м – массовые расходы
кристаллического и растворенного сахара, несахаров,
воды, утфеля и мелассы, кг/с; Qу, Q м – чистота
субстанции (утфеля, мелассы), масс. доли; CVу, CVм
– концентрация сухих веществ в утфеле, мелассе,
масс. доли; индексы: «н» и «к» – начало и конец
кристаллизации, «кр.» – твердая фаза.
Величина выкристаллизовавшегося сахара
и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ) нсх в кр к M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV Q  M
       . 1– 1– у мн мн мк мк в кр к  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 3 1 2 4 2
2
2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
П Н Н КХ Н П
ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
dm K K K K K K K K k C C
F
C С C k С С C C
С C k С C k С C C K



  
  
             

        
              В  K
(2)
  3
2 2,6
14
10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
Т N Z

   
   
   
                 
 5
16 ; КХ   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
 8
7
30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ k Q

  
   
 
   
       
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ     
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
9,02563
0,9882 Z
T Z N
        2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
13 11,4785
0,9951
2,15 10 ;
к Н
к Н
Z
T Z N


 

 

   (6)
определяется через удельную
массовую скорость кристаллизации K, равную
Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
1
3 Ш

 

мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
        . 1– 1 1– у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
    . 1– мк мк в кр к  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K  K
 
      
     
1
2
2 1 1 1 1
exp 6,45 2
3 1 2 4 2
3 6 3 7
exp
/ exp
exp exp exp
КХ ЗХ РЗ НСХ В D
Н КХ Н П
РЗ Н Н Н НСХ
K K K K K k C C
C k С С C C
С C k С C C K



 
  
         
      
          В  K
(2)
  3
2,6
14
12 2 13 1,788 0,6832 Н / ;
Т N Z

  
 
  
        
  18 exp , П П  QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
8
32 exp Н ,

 

 
  
    
  
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ    
1,85
0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T

 
       
 
П C , Н C
     2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                    
(5)

0,9951
N


в кг/(м2·с), с использованием базовых
соотношений между размером кристалла, его массой
и площадью [8, 18].
Для определения расчетных формул удельной
массовой скорости роста одиночного кристалла
Kкр и безразмерной относительной скорости
кристаллизации множества кристаллов Kотн их
экспериментальные значения были обработаны на
ЭВМ с помощью методов нелинейного програм-
мирования: наименьших квадратов, штрафных
функций, генетического алгоритма и способа
конфигураций Хука-Дживса [5, 8, 16]. При
поиске коэффициентов математических моделей
минимизировался квадратичный критерий:
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q  M  M CV Q  M    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у у М  СV в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
2 2 2 exp КР D П КХ K dm d F
k C k С 
 
     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
1 D
k
      2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
1 КХ k        (12)
где L – количество экспериментальных данных;
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  CV Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас ,
экс
i i K K
2 2 КР D КХ K k k     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
1 D
k
2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 273,15
П П Н
D
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн М СV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
           1
2
1 2 1 2 exp 6,45 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ K dm K K K K K K K K d F
k C C С C k С С k С C k С C k С 


             
                    где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  2 14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / D
Т N k
Z
   
   
   
                 2 4
T Т

  
   
   − соответственно расчетное и экспериментальное
Таблица 1. Экспериментальные значения безразмерной
относительной скорости роста сахарных кристаллов
в зависимости от их концентрации
и среднего размера [35, 36]
Table 1. Experimental values of the dimensionless relative
growth rate of sugar crystals depending on their concentration
and average size [35, 36]
Относительная
скорость
кристаллизации
Средний размер
кристалла, мм
Массовая
концентрация
кристаллов, %
1 2 3
0,714286 1,50 20
0,496774 1,00 20
0,41600 0,50 20
0,336406 0,25 20
0,543779 1,50 30
0,344999 1,00 30
0,304148 0,50 30
0,230415 0,25 30
0,382489 1,50 40
0,247926 1,00 40
0,216590 0,50 40
0,152074 0,25 40
0,271889 1,50 50
0,184332 1,00 50
0,158525 0,50 50
0,110599 0,25 50
1,000000 1,50 5
0,751152 1,00 5
0,646001 0,50 5
0,554999 0,25 5
0,884793 1,50 10
0,668203 1,00 10
0,565000 0,50 10
0,470999 0,25 10
0,183410 1,50 60
0,147465 1,00 60
0,137999 0,50 60
0,098618 0,25 60
45
Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52
значение удельной массовой скорости кристал-
лизации (или безразмерной относительной
скорости роста множества кристаллов); A – вектор
коэффициентов математической модели.
Согласно критерию (12) на основе обширных
экспериментов, проведенных в СССР и
других странах, нами разработана аддитивная
математическая модель кристаллизации, имеющая
вероятностный характер.
Модель состоит из восьми слагаемых:
( ) ( ) n k
HCX HOH (1) о K , р K
n
Р Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С С
d F      

/ кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M   M кр K  K  2
min,

 

А
рас , экс
i i K K
 
         
      
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
П Н С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                    
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Т

  

  
 

    
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N
   8
6 0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

   
       
 
    
            
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н       

    
13
0,0275
exp 0,3761 exp
/
НСХ N N N N
N  T
    

    

15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z
Z T T Z N
             2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
  
2
2 13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н к Н
к Н к Н
Z T Z
T Z N
N
N

  
 



    
 
            
(6)
   

4 2 2 2
1,09 4,022
252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
/ .
к
N t N t N t N t
t Z
 
             
об 
2 3 9 10 12  
4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об кр кр кр кр кр об кр кр  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
     
8 1,775 3
10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
             
м  кр  кр l
( ) ( ) n k
HCX HOH (1) о K , р K
n
Р Н C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K 2
min,

 

А
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
П Н С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Т

  

  
     
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T   N
   8
6 0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

   
       
 
    
           
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1       
13
0,0275
exp 0,3761 exp
/
НСХ N N N
N  T
    

    15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z
Z T T Z N
            2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
  
2
13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н к Н
к Н к Н
T Z
T Z N
N
N

  
 



    
 
            
(6)
   

4 2 2 2 2
1,09 4,022
lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
/ .
к
N t N t N t N t
Z
 
            
об 
2 3 9 10 12  
4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об кр кр кр кр кр об кр кр  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
     
8 1,775 3
10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
             
м  кр  кр l
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
экв
l d   . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M     1– 1– у у мн мн М  СV  M  CV в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
    1 2 2 2 2
2 2 5 2 exp exp exp КР D D D П П Н КХ K dm K K K d F
k C C С k С C 
      
           где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
2 1 10 11 Н Н D
k
               2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т 2 КХ k        2,5 6 0,75 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; ЗХ РЗ k Q T T T k Q
                         , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
15 0,1757875 10 В
K Q      
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z Z N
T Z N N
  
 





                            
   
2 4 2 2 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t N t Z
   

                     
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a         
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 1 0,01 ;
CV t t CV CV CV
                    
) ( ) n k
HOH (1) о K , р K
n
Н , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг /  м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) кр н мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк нсх кр к  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн  K K
min,

А
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
Н С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
П П Н
Н

  
  
 
    
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
   8
0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

  
       
 
    
           
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
    
 
13
0,0275
0,3761 exp
/
НСХ N N N
 T
   
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
 
       
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
Z T T Z N
           2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
  
2
13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
к Н к Н
T Z
T Z N
N
N

 
 



    
 
         (6)
   
4 2 2 2 2
4,022
0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
.
к
t N t N t N t
Z
 
           
об 
2 3 9 10 12  
5 6 7 8 11 13 a a a / ;
кр кр кр кр кр об кр кр   a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
 
(10)
    
1,775 3
4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
           
м  кр  кр l
(13)
где
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн у кр М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
            1
2
1 2 1 2 1 exp 6,45 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н K dm K K K K K K K K k d F
k C C С C k С С C k С C k С C k С 


              
                      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
            
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k  QR  R  exp П RQ 

    8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где 1 2 , D D K K , , 1 8  ,...,
    
   
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
        
15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 В
K CV CV Q Q             
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N             
   
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





        
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9)         
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                  
   
м  кр  кр l
( ) ( ) ( ) m n k
 CX HCX HOH (1) о K , р K
 n
КХ Р Н  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V   КР D П Н Р K dm k С С k d F      
моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к CV Q M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . . кр н мк мк нсх кр к  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M K  2
min,
рас
i
экс
i
K
K

 

А
A
рас , экс
i i K
 
        
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
             

         
                В  K
(2)
2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
 3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Q СV Т

  

  
 
      
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T      8
6 0,75 2 7
25 26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
        
 
     
             
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C     
   
11 13
0,0275
10 exp 0,3761 exp
exp /
НСХ N N N N
N N  T
      
 
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
2
1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z
Z T T Z N
               2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
 
   
2
2 13 10 2,6
13
0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
к Н к Н
к Н к Н
Z T Z
T Z N
N
N N

  
 



     
 
               
(6)
   
 
4 2 2 2 2
1,09 4,022
0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
438 / .
к
N t N t N t N t
N t Z
 
              

об 
3 2 3 9 10 12  
3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
    
8 1,775 3
1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
               
м  кр  кр l
(14)
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2 . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M  1– у у М СV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M      1– 1– 1– у у мн мн мк мк М  СV  M  CV  M  CV в кг /  м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
      1
1 2 1 2 2 2 3 2
2 2 5 2 3 exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ D П П Н Н КХ ЗХ K dm K K K K K d F
k C C С C k k С C k С 

        
               где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
2 1 10 11 12 2 13 Н Н Н D
k
      
                2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т 2 17 exp КХ П k   QR       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 exp 1 ; Н exp ЗХ РЗ k Q T T T k Q

                                     , 1 8  ,...,
    
   
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 15 0,1757875 10 1 0,27007 В
K CV Q         
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
             
 314,578 T        
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                 
     

2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8) об
м 
  
        
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  (15)
о K , р K
КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
П Н
Н
 


, где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк нсх в кр к CV Q  M  M  M        . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
 . нсх кр к         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
, экс
i K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
1,5 П Н С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
4
;
П Н
Н

  
 
 
  
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
  8
2 7
28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T k Q

  
     
 
   
         
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
 
13
exp
НСХ N N
 
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
11636,2711 9,02563
0,9882 Z
T T Z N
          2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N


                    
(5)
 
2
13 10 2,6
13
13780,2866Z / 11,4785
0,9951
10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
к Н
T Z
T Z N
N
N

 
 


  

        (6)
 
4 2 2 2 2
10 0,144 10 0,0376 lg
N t N t N t
 
         
об 
3 9 10 12  
7 8 11 13 a a a / ;
кр кр об кр кр  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
  
3
15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t CV t
        
м  кр  кр l
(16)
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ; n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин.. . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у М СV  Q  M   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M        1– 1– 1– у у мн мн мк мк М  СV  M  CV  M  CV  в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
       1
1 2 1 2 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 exp exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ D П П Н Н КХ КХ ЗХ K dm K K K K K K d F
k C C С C k k С C k С 

           
                  где 1 П 8 Н C  С  ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н  С С ;
2 1 10 11 12 2 13 1,788 Н
Н Н D
Т k
      
   
             2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т  2 17 18 exp КХ П k   QR       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
                        , 1 8  ,...,
    
   
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 15 0,1757875 10 1 0,27007 В
K CV Q         
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
               314,578 1,0509 T Z         
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)  м об
м кр  
  
         
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  ( ) ( ) ( ) m n k
 CX HCX HOH (1) о K , р K
 n
КХ Р Н  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V   КР D П Н Р K dm k С С k d F      
Н С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к CV Q M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . . кр н мк мк нсх кр к M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M   2
min,
рас
i
экс
i
K
K

 

А
A
рас , экс
i i K K
 
         
      
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Q СV Т

  

  
 
      
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   19 20 21 22 23 exp / / П R   Q  Q  Q T      8
6 0,75 2 7
25 26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
        
 
     
             
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , C     
   
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
0,3761 exp /
НСХ N N N N
N N  T
      
  
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
2
1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z
Z T T Z N
               2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                  

   2
2 13 10 2,6
13
0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
к Н к Н
к Н к Н
Z T Z
T Z N
N
N N

  
 



     
 
               
(6)
  
 
4 2 2 2 2
1,09 4,022
0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
438 / .
к
t N t N t N t N t
N t Z
 
              

об 
3 2 3 9 10 12  
3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об об кр кр кр кр кр об кр кр   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
     
8 1,775 3
0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
               
м  кр  кр l
(17)
где
кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М  М М М  М
       . 1– 1 1– у мн мн мн мк мк мк нсх кр к  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
   . 1– мк в кр к CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
      
     
1
2
1 1 1 1
exp 6,45 2
1 2 4 2
6 3 7
exp
/ exp
exp exp exp
КХ ЗХ РЗ НСХ В D
КХ Н П
РЗ Н Н Н НСХ
K K K K k C C
k С С C C
C k С C C K



 
  
         
       
         В  K
(2)
  3
2,6
14
13 1,788 0,6832 / ;
Т N Z

 
 
 
       
 18 exp , П П  R  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
32 exp Н ,
 

 
 
  
 
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ   
1,85
0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T

 
      
 
П C , Н C
     2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                    
(5)

N


(6)

t

об 
  ;
100
м кр
м кр м
 
   


  
9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
    
(10)


м  кр  кр l
− основные
компоненты модели, отображающие отложение
сахара (диффузионная (два слагаемых), реакционная
кристаллохимическая (две составляющих)),
непосредственного захвата частичек сахара и
распада промежуточных соединений, состоящих из
сахарозы, несахаров и воды;
n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
      . 1 1– мн мн мн мк мк мк нсх кр к  M CV  Q  M CV  Q  M
   . мк в кр к  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
    
    
2
1 1 1 1
exp 6,45 2
1 2 4 2
6 3 7
exp
/ exp
exp exp
РЗ НСХ В D
КХ Н П
РЗ Н Н Н НСХ
K K K k C C
С С C C
C k С C C K


 

        
    
        В  K
(2)
  3
2,6
14
1,788 0,6832 / ;
Т N Z

 

 
     
  18 , П   R   3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
32 Н ,
 

 

 

где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ    
1,85
0,27007 1 1 5,31 . CV Q T

 
     
 
П C , Н C
    2 13 10 2,6
13
exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z Z N N



                 
(5)

6)
об 
  ;
100
м кр
кр м
 
  

 
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
кр  кр l
− слагаемые,
отображающие включение несахаров и воды в
сахарный кристалл; Q – чистота раствора; CV – со-
держание сухих веществ; Z, N – соотношение сахар/
вода и несахар/вода в пересыщенном растворе
соответственно; T – абсолютная температура;
Н кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
1
3  

мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
        . 1– 1 1– у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
    . 1– мк мк в кр к  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
     
     
1
2
2 1 1 1 1
exp 6,45 2
1 2 4 2
3 6 3 7
exp
/ exp
exp exp exp
КХ ЗХ РЗ НСХ В D
Н КХ Н П
РЗ Н Н Н НСХ
K K K K K k C C
C k С С C C
С C k С C C K



 
  
         
      
          В K
(2)
  3
2,6
14
2 13 1,788 0,6832 Н / ;
Т N Z

  
 
  
        
  18 exp , П П  QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
8
32 exp Н ,

 

 
  
    
  
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ    
1,85
0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T

 
      
 
П C , Н C
    2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                    
(5)

0,9951
N


(6)
 
lg
t

об 
  ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)

3
t
  
м  кр  кр l
,
   2
D П Н Р П Н
С С k С С
  
,
мк М
  . нсх кр к  M
 нсх в кр.к M  M кр отн K  K K
НСХ


В  K
(2)
  0,23
22 23 / / ;  Q T   N
, НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ 13 13
2,15 10 ;
2,15 10
N


       (5)

;
(10)
– термодинамические активности пересыщенного
и насыщенного раствора;
м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,

где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

    
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) нсх в кр к  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
        . 1– 1– 1– у мн мн мк мк в кр к СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
dm K K K K K K K K k C C
d F
C C С C k С С C C
С C k С C k С C C K




  
  
             

          
               В  K
(2)
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
4
;


 
 
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R    Q  Q  Q T   N
  8
2 7
30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T k Q

  
   
 
   
        
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,

13

    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
9,02563
0,9882 Z
T Z N
       2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
2
13 13
/ 11,4785
0,9951
2,15 10 ;
2,15 10
к Н
Н
к Н
T Z
T Z N
N


 


 

       (6)
 
2 2 2
0,144 10 0,0376 lg
N t N t

       
об 
9 10 12  
11 13 a a a / ;
кр об кр кр l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
  
3
0,006 1,58951 1,025 10
t CV t
       
м  кр  кр l
– коэффициент
насыщения; 1 32 β ,...,β , 1 8 α ,...,α − регрессионные
параметры.
Двойные слагаемые в диффузионной и
кристаллохимической составляющих модели
объясняются установленными фактами изменения
диффузионного переноса вещества по поверхности
грани и зависимости константы скорости
кристаллохимической реакции от вида грани.
Включение несахаров в сахарный кристалл
описано случайным законом распределения Пуассона
и зависит от температуры, динамической вязкости и
отношения несахара к воде [5]:
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн у М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M    1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
            1
2
1 2 1 2 exp 6,45 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н K dm K K K K K K K K k d F
k C C С C k С С k С C k С C k С 


              
                      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   Q R  R exp П R        8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где 1 2 , D D K K , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
            
    
15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 В
K CV CV Q Q             
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N             
       
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

 
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                  
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9)      
 
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV
t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;   n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M CV Q M  M CV Q  M    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у у М  СV в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
2 2 2 exp КР D П КХ K dm d F
k C k С 
 
     где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С 
С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
1 D
k
      2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
1 КХ k      2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 30 exp 1 ЗХ k Q T T T                      , 1 8  ,...,
 
  
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        

   
В
K  2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
П
C Z Z Z Z T                   
2
2 10 2,6
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 0,9929 2,15 10
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к н
C Z Z T Z N
T Z N   
 


                       
   
2 4 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t Z
   
                  
2 3 2 3 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a a отн об об об об кр кр кр кр кр об K  a  a  a   a a  l  a l  a l  a l  a l   a        8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;
CV t t CV CV                   
(18)
Рост кристалла за счет включения воды зависит от чистоты раствора, содержания сухих веществ, абсолютной
температуры, динамической вязкости и описывается формулой:
( ) ( ) m n k
HCX HOH (1) о K , р K
n
Р Н C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П K dm k С С k С С
d F
    

моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) мн кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . мк мк нсх кр к M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр K  K  2
min,

 

А
A
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
П Н  С 
С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
              
 
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
Т

  

  
 
    
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / П R    Q  Q  Q T   N
   8
6 0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

   
       
 
     
            
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н       
   
13
0,0275
exp 0,3761 exp
exp /
N N N N
N  T
    

    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z
Z T T Z N
            
2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
  
2
2 13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н к Н
к Н к Н
Z T Z
T Z N
N
N

  
 



    
 
            
(6)
   

4 2 2 2 2
1,09 4,022
252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
/ .
к
N t N t N t N t
t Z
 
             
об 
2 3 9 10 12  
4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об кр кр кр кр кр об кр кр  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
     
8 1,775 3
10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
              
  l
(19)
По формулам (18) и (19) можно установить количество примесей (несахаров и воды), встроившихся в
кристаллическую фазу из поликомпонентного раствора.
Концентрации (термодинамические)
V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F
    

,
1
6 3 Ш
экв
V

    
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. кр к         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
     . 1– мн мк мк в кр к CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M M кр отн K  K K
 
       
     
1
2
1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
3 1 2 4 2
2
3 6 7
exp
exp / exp
exp exp exp
КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
Н Н КХ Н П
ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K K K K K K k C C
C k С С C C
k С C k С C C K



  
  
           
       
           В  K
(2)
  3
2,6
14
12 2 13 1,788 0,6832 Н Н / ;
Т N
Z

   
  
   
         
   2 17 18 exp , КХ П П   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R    Q  Q  Q T   N
8
32 Н exp Н ,
Q

 
 
 
   
      
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
    
15 1,85
10 1 0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T

  
        
 
П C , Н C

N
      2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)

0,9951
к Н
Н
Z
N


 


(6)
 
2
0,0376 lg
N t
  
об 
и коэффициент насыщения определяются на основе следующих
зависимостей [38]:
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q  M  M CV Q  M  M  M   1– у у у мн М СV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр М  СV  M  CV  M  CV  M в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
         1
2
1 2 1 2 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н КХ ЗХ K dm K K K K K K K d F
k C C С C k С С k С C k С C 


            
                    где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
 2 14
1 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н / D
Т k
Z
   
   
   
                2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
            
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
  15 0,1757875 10 1 0,27007 1 В
K CV CV Q           
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
               314,578 1,0509 Z T Z N          
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
 
 

р K
кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F
    

,
Н

, где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
     
  . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
Н С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
4
;
Н

 
 
 
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R    Q  Q  Q T   N
  8
2 7
29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T k Q

  
    
 
   
         
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
 
13
N

    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
         2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                    
(5)
 

2
13 10 2,6
13
13780,2866Z / 11,4785
0,9951
2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
к Н
T Z
T Z N
N

 
 


  

       (6)
 
2 2 2 2
0,144 10 0,0376 lg
t N t N t

        
(20)
46
Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52
   
, 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 В
K CV CV Q             
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                2 314,578 1,0509 Z T Z N             
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
       
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l
 
   , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 15 0,1757875 10 1 0,27007 В
K CV Q         
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
               314,578 1,0509 Z T Z         
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t t N N t N t Z
   

                
     об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a     a  l  a l  a l  a l    a l l  a (8)  100
м об
м кр  

  

         
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
  
м  кр  (21)
 
1 8 11 13
0,0275
НСХ  15 В
  2
2
П
 2 2
2 13 10 2,6
13
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н




2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
Н
к
  

 об 2 3 2 3 9 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр l м кр
м кр м
8 1,775 3
1,03
t   м кр кр  , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N
N N  T
        
    
 15 0,1757875 10 1 В
K Q       
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
 
            314,578         
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z Z N
T Z N N

 
 





        
                    
   
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t
N N t N t Z
   

                    
  
2 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр об
кр кр K  a  a  a   a  l  a l  a l  a l  a l l  a (8)         
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t CV CV CV
                    
(22)
где t – температура, °C; Zк – отношение сахара к воде
в состоянии насыщения в чистом растворе.
Математическая модель (13)–(22) позволяет
рассчитать скорость роста твердой фазы как при
изобарической испарительной кристаллизации
в вакуум-аппаратах, так и при политемической
кристаллизации в вертикальных и горизонтальных
кристаллизаторах. Среднеквадратичное отклонение
модели от экспериментальных значений составляет
± 11,3 %. Это почти в два раза точнее обобщения
И. С. Скрипко и В. А. Трегуба: примерно 100 опытов
по кристаллизации сахарозы, ошибка которого равна
± 20 % [39].
На рисунке 2 показаны графические зависимости
скорости роста твердой фазы при температурах
50 и 70 °С рассчитанные по модели (13)–(22).
От содержания СВ зависимость экстремальна, с
уменьшением чистоты раствора скорость роста резко
падает.
Объемная концентрация кристаллов в утфельной
массе достигает 50 %. Кристаллы находятся
в стесненном состоянии, они сталкиваются,
разрушаются, трутся, слепляются и, в зависимости
от локального пересыщения, могут частично
растворяться. «Стесненный» рост кристаллов
осуществляется намного медленнее, чем рост при
свободной кристаллизации единичного кристалла.
Поэтому при расчете массовой кристаллизации
сахарного песка с использованием модели (13)–(22)
необходимо ввести поправку на стесненность
кристаллов, которая учитывается математической
зависимостью относительной скорости кристал-
лизации от среднего размера кристаллов и их
объемного содержания
. . ( ) у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q   . . у мн мн кр н мк мк нсх кр к СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  M м2 с
 2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
 
        
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C 



  
  
              

           
                1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н
T Q СV Т

  
 
  
   
            
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 19 20 21 exp П R    Q  Q       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
РЗ Q T T T k Q

   
           
 
     
              
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
  
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z Z Z
Z T T Z N
                  2 10 314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z N
T Z N 
              
   
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





      
 
                   
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
4028 10 0, 438 / .
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
  

                 
    
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  1589,7 1 1,1 10 кр t
  
  
      

8 1,775 3
1,03
0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                  
 
м  кр  кр l
:
. . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M   1– у у у мн М СV  Q  M CV   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         1– 1– 1– у у мн мн мк мк в М  СV  M  CV  M  CV  M в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
         1
2
1 2 1 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ D П П Н Н КХ Н КХ ЗХ K dm K K K K K K K d F
k C C С C k С С k С C k С C 


            
                   где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
 2 1 10 11 12 2 13 1,788 Н Н Н / D
Т k
   
   
   
                2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp КХ П П k   QR  R       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где , 1 8  ,...,
        
11 13
0,0275
0,1558 10 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
      
    
  15 0,1757875 10 1 0,27007 1 В
K CV CV Q           
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
               314,578 1,0509 Z T Z         
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)  100
м кр
об
м кр  

   

  
       
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l
(23)
2
Н
Ar  
  , где П  , Н  Ш V :
экв
l d 
   
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. . ( ) кр н мк мк мк нсх в кр к M  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q M CV  Q  M
  . мк нсх кр к CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
min,

А
рас , экс
i i K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
                В  K
(2)
Н С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
  
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
273,15
П П Н
Н

  
  
 
    
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
   8
0,75 2 7
26 27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

  
       
 
    
            
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1  ,...,    
  
13
0,0275
exp 0,3761 exp
/
НСХ N N N
 T
   

    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
Z T T Z N
           2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
  
2
13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
exp 0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
Н к Н
к Н к Н
T Z
T Z N
N
N

 
 



    
 
         (6)
   
4 2 2 2 2
4,022
lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
/ .
к
t N t N t N t
Z
 
           
об 
2 3 9 10 12  
5 6 7 8 11 13 a a a / ;
об кр кр кр кр кр об кр кр  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
     
1,775 3
4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t t CV t
            
м  кр  кр l
(24)
D и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    КР D П Н Р П Н
K k С С k С С
d F 
,
, Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ) нсх в кр к M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
       . 1– 1– у мн мн мк мк в кр к СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
         
      
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 3 1 2 4 2
2
2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
П Н Н КХ Н П
ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
dm K K K K K K K K k C C
F
C С C k С С C C
С C k С C k С C C K




  
  
             

         
              В  K
(2)
  3
2 2,6
14
10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
Т N Z

   
   
   
                 
 5
16 ; КХ   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
8
7
30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ k Q

  
   
 
   
       
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ     
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
9,02563
0,9882 Z
T Z N
        2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
2
13 13
11,4785
0,9951
2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
Z
T Z N
N


 


 

      (6)
 
2 2 2
10 0,0376 lg
N t N t

      
об 
12  
11 13 a / ;
кр кр   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
 
3
1,58951 1,025 10
CV t
      
м  кр  кр l
(25)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
ρ = − ⋅  + ⋅ − ⋅ −  + − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ×
× − ⋅ ⋅
( ) ( ) ( ) ( ( )
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1 0,01 ;
CV t t CV CV CV
ρ = − ⋅  + ⋅ − ⋅ −  + − ⋅ ⋅ − × − ⋅ ⋅ (26)
где
2 ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ V V где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . ( ) у у у мн мн кр н мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q   M  M    1– 1 у у у мн мн М СV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
           1
2
1 2 1 2 exp 6,45 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ K dm K K K K K K K d F
k C C С C k С С k С C k С C k С 


           
                    где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
 2 14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / D
Т N k
Z
   
   
   
                2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R П
R
       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T k Q

   
          
 
     
              
   
где 1 D K , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 В
K CV CV Q             
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                2 314,578 1,0509 Z T Z N             
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр об кр кр K  a    a   a  a      a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
       
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l
– относительная скорость роста,
учитывающая стесненность кристаллов, доли ед.;
Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      
,
1
6 3 Ш
V

    
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
        . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
     . 1– мк мк в кр к   CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм  нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
 
       
     
1
2
1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
3 1 2 4 2
3 6 3 7
exp
exp / exp
exp exp exp
КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
Н КХ Н П
ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K K K K K k C C
C k С С C C
k С C k С C C K



  
  
                
          В  K
(2)
  3
2,6
14
12 2 13 1,788 0,6832 Н / ;
Т N Z

  
  
  
         
   17 18 exp , П П   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
8
32 Н exp Н ,

 

 
   
     
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ     
15 1,85
1 0,27007 1 1 5,31 . CV CV Q T

 
        
 
П C , Н C
     2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                    
(5)

0,9951
к Н
N





(6)
 
2
0,0376 lg
N t
  
об 
(8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)

3
1,025 10
t
   
м  кр  кр – масlсо вая концентрация твердой фазы, %;
) k
HOH (1) о K , р K
, где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
2 3
2
g П П Н
Н
l
  
 
  
 , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк мк нсх в кр к  M CV Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
  . нсх кр к  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн K  K K
min,
рас , экс
i i K K
 
        
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
     
        

        
                В  K
(2)
; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 9,80665 ;
П П Н
Н

  
  
 
   
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
   8
0,75 2 7
27 28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T T k Q

  
      
 
    
          
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
   

13
0,0275
0,3761 exp
/
НСХ N N
T
   
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
           2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
 
2
13 10 2,6
13
1,0016 13780,2866Z / 11,4785
0,9951
0,04857 10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
Н к Н
T Z
T Z N
N
N

 
 



   
 
         (6)
 
4 2 2 2 2
4,022
0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
.
N t N t N t
 
           
об 
2 3 9 10 12  
5 6 7 8 11 13 a a a / ;
кр кр кр кр об кр кр  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
    
1,775 3
4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t CV t
          
м  кр  кр , l
ρ – плотность твердой и жидкой фазы, кг/м3;
CV – концентрация СВ в жидкой фазе, %. Модель (23)
работоспособна при:
; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ) нсх в кр к M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
       . 1– 1– 1– у мн мн мк мк в кр к СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M  M  M кр отн  K K
 
         
       
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 3 1 2 4 2
2
2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
П П Н Н КХ Н П
ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
dm K K K K K K K K k C C
d F
C C С C k С С C C
С C k С C k С C C K




  
  
             

         
               В  K
(2)
  3
2 2,6
14
10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N Z

   
   
   
                  
;
 5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q  Q T   N
 8
7
30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ k Q

  
   
 
   
         
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
НСХ 
     
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
9,02563
0,9882 Z
T Z N
       2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 
2
13 13
/ 11,4785
0,9951
2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
T Z
T Z N
N


 


 

      (6)
 
2 2 2
0,144 10 0,0376 lg
N t N t

      
об 
10 12  
11 13 a a / ;
об кр кр   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
  
3
1,58951 1,025 10
t CV t
       
м  кр  кр = 5–6l0 м асс. %;
о K , р K
КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V    2
КР D П Н Р П Н
K dm k С С k С С
d F      

,
П Н
Н
 


, где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . . у кр н мн кр к мк М М М М  М
. ( ) мк мк нсх в кр к Q  M  M  M         . 1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк мк нсх кр к М СV  Q  M CV  Q  M CV  Q  M
 . кр к         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм   нсх в кр.к M M  M кр отн K  K K
экс
i K
 
         
     
1
2
1 2 1 2 1 1 1 1
exp 6,45 2
2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н Н НСХ
K dm K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C K




  
  
              

           
              В  K
(2)
П Н С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
4
;
П Н
Н

  
 
 
 
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 2   0,23
19 20 21 22 23 exp / / ; П R   Q  Q Q T   N
  8
2 7
28 29 30 31 32 ; Н exp Н ,
РЗ T T k Q

  
     
 
  
        
  
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K , РЗ K , НСХ В K K П C , Н C Н  1 32  ,...,
 
13
exp
НСХ N
 
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C , Н C
 
2
11636,2711 9,02563
0,9882 Z Z
T T Z N
          2 13 10 2,6
13
314,578 exp 0,0486 10 2,15 10 ;
1,0509 2,15 10
Z N
T Z N N



                     
(5)
 

2
13 10 2,6
13
13780,2866Z / 11,4785
0,9951
10 2,15 10 ;
2,15 10
к Н
к Н
к Н
T Z
T Z N
N

 
 



  

        (6)
 
4 2 2 2 2
0,144 10 0,0376 lg
N t N t N t
 
         
об 
3 9 10 12  
7 8 11 13 a a a / ;
кр кр об кр кр  l  a l  l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 4  
1589,7 ;
1 1,1 10 15 кр t
  
  
(10)
  
3
15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
t CV t
        
м  кр  кр l = 0,25–
1,50 мм; ее среднеквадратичное отклонение равно
± 1,3 %. Количество использованных для построения
модели (23) (табл. 1) экспериментов равно 28.
Формулы (24)–(26) позволяют пересчитать в
объемную массовую концентрацию твердой фазы [3,
8, 40, 41].
Коэффициенты модели (23) равны:
a0 = 0,18822524; a1 = 1,4168116; a2 = 0,61027645;
a3 = 0,62882917; a4 = 0,32209431; a5 = 0,29126081;
a6 = 0,29813377; a7 = 0,21398706; a8 = 0,015677561;
a9 = 7,5; a10 = 0,62516922; a11 = 0,66918776;
a12 = 0,37433054; a13 = 2,0826152.
Формулы (23)–(26) служат для пересчета
скорости роста свободного монокристалла (формулы
(13)–(22)) в удельную скорость роста стесненного
коллектива кристаллов, средний размер которых
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн у кр М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M     1– 1 у у у мн мн мн М СV  Q  M CV  Q   . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M         . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV  M M, Mсх, Mнсх, в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
            1
2
1 2 1 2 1 exp 6,45 2 2 3 1 2
2 2 5 2 3 6 3 exp exp / exp exp exp КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н K dm K K K K K K K K k d F
k C C С C k С С C k С C k С C k С 


              
                      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  exp П R
       8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ k Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где 1 2 , D D K K , , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
   
    
15 0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 В
K CV CV Q Q             
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
C Z Z Z Z
Z T T Z N
                2 314,578 exp 1,0509 Z T Z N             
   
    
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 10 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
C Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                    
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
     
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9)        
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
   
м  кр  кр l ,
а концентрация в утфеле
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
K m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; D k и КХ k м / с ; V C , Р C , Н C кг / м3 ; n = 2 D КХ K V V V , где K V КР K dm d  где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  , Н  Ш V :
1
6 3 Ш
экв
l d V

     
 
мг / м2  мин. Kотн . у кр н мн кр М М М М . . ( ) у у у мн мн мн кр н мк мк мк нсх в кр к М СV Q M CV Q M  M CV Q  M  M  M      1– 1 1– у у у мн мн мн мк мк М СV  Q  M CV  Q  M CV    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M       . 1– 1– 1– у у мн мн мк мк в кр к М  СV  M  CV  M  CV M M, Mсх, Mнсх, Mв, Mу, Mм кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
                 1
2
1 2 1 2 1 1 1 exp 6,45 2 2 3 1 2 4 2
2
2 2 5 2 3 6 3 7
exp
exp exp / exp
exp exp exp exp
КР D D КХ КХ ЗХ РЗ НСХ В D
D П П Н Н КХ Н П
КХ ЗХ РЗ Н Н K dm K K K K K K K K k C C
d F
k C C С C k С С C C
k С C k С C k С C C 



  
  
              
                          где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
  3
2 2,6
14
1 10 11 12 2 13 1,788 0,6832 Н Н Н / ;
D
Т N k
Z

   
   
   
                  
2 4
15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
T Q СV Т

  
 
  
   
             
5
1 16 ; КХ k   Т   2 17 18 exp , КХ П П k   QR  R  3 19 20 exp П R    Q        8
2,5 6 0,75 2 7
24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 exp 1 ; Н exp Н ,
ЗХ РЗ Q T T T k Q

   
           
 
     
               
   
где 1 2 , D D K K , 1 2 , КХ КХ K K , ЗХ K 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
    
15 1,85
0,1757875 10 1 0,27007 1 1 5,31 . В
K CV CV Q T
Q 
   
         
 
П C  
2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
0,9882 П
Z Z Z Z
Z T T Z N
                  2 314,578 exp 0,0486 10 1,0509 Z N
T Z N               
   
   
2
2 13 10 2,6
13
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / 11,4785
Z 0,9951
187,1981 exp 0,04857 10 2,15 ;
0,9929 2,15 10
к Н
Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к Н
к н
Z Z T Z
T Z N
Z N
T Z N N

  
 





       
 
                   
(6)
   
 
2 4 2 2 2 2
5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 10 0,0376 lg
0, 4028 10 0, 438 .
Н
к
N t N t N t N t N t
N t N t Z
   

                   
    
об 
2 3 2 3 9 10 12  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 11 13 a a a / ;
отн об об об об кр кр кр кр кр об кр кр  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l   a l l  a (8)   ;
100
м кр
об
м кр м
 

   


  
(9) 1589,7 1 1,1 10 кр   
         
 
8 1,775 3
1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1,58951 1,025 10
1 0,01 ;
CV t t CV t
CV CV
                    
  
м  кр  кр l об. Расчет относительной
скорости по формуле (23) существенно точнее
квадратичной зависимости, используемой при
расчете стесненной кристаллизации в [25],
регрессионной и предиктивной моделях [19, 28].
На рисунке 3 показана 3D-зависимость величины
2 ( ) ( ) ( ) o
р
K
m n k
mCX  nHCX  kH O CX HCX HOH (1) о K , р K
  D D V Р V  k C C ;  n
КХ КХ Р Н V  k C C , где D V и КХ V кг / м2 с ; где КР K кг / м2 с ; , П Н С С моль / кг
2 3
2
g П П Н
Н
Ar l
  
 
  
  , где П  . ( у у у мн мн мн кр н мк мк мк М СV Q M  CV Q M  M CV Q  M    . . у у мн мн кр н мк мк нсх кр к М СV  M CV M  M CV  M  M  1– у М  СV в кг / м2 с
  2
1
1 min,
L рас
i
экс
i i
K
R
 K
 
    
 
 А
A
рас , экс
i i K K
2 2 КР D КХ K d k C k      где 1 П 8 Н C  С  С ; 2 9 П Н C   С С ; 3 1,5 П Н C  С С ;
1 D
k
 2 4
2 15 2 16 2 exp 9,80665 ;
273,15
П П Н
D
Н
k T Q СV Т

  
 
  
   
             
k      2,5 6 0,75 2 24 24 25 26 27 28 29 exp 1 ЗХ k Q T T T                     , 1 8  ,...,
    
    
11 13
0,0275
0,1558 10 exp 0,3761 exp
exp 0,3761 exp /
НСХ K N N N N
N N  T
        
    
 2
2
exp 2,3026 1,7579 10 1,1107 11636,2711 9,02563
П
C Z Z Z Z T                  
2 10 2,6
exp 2,3026 0,0191 1,0016 13780,2866Z / Z 187,1981 exp 0,04857 10 2,15 0,9929 2,15 Н к Н к Н к Н
к Н к Н
к н
C Z Z T Z N
T Z N   
 


                     
   
2 4 2 5 2 2 1,09 4,022
1 0,9171 10 0, 252 lg 0, 2748 10 0,144 0, 4028 10 0, 438 / .
Н
к
N t N t N t N t N t Z
   
                  
2 3 2 3 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a a отн об об об об кр кр кр кр кр об K  a  a  a   a  a  l  a l  a l  a l  a l        
8 1,775 1,03
1 0,01 / 0,001 1,32 10 4 15,6377 0,006 1 0,01 ;
CV t t CV CV
                 
от размера и концентрации кристаллов.
На обоих графиках массовая концентрация
кристаллов изменяется от 5 до 60 %. Анализ
графических зависимостей (рис. 3) относительной
скорости роста показывает, что влияние
массового содержания кристаллов, по сравнению
с их объемной концентрацией, выражено более
контрастно.
47
Арапов Д. В. [и др.] Техника и технология пищевых производств. 2021. Т. 51. № 1 С. 39–52
Результаты имитационного моделирования
процесса политермической кристаллизации сахара
с использованием разработанной математической
модели показаны на рисунках 4 и 5. На графиках
отображены изменения величины среднего
линейного размера сахарных кристаллов и
приращения кристаллической массы в процессе
политермической кристаллизации без учета (рис. 4) и
с учетом стесненности кристаллов (рис. 5).
При учете стесненности кристаллов прирост
твердой фазы за время политермической
кристаллизации, которое равно 20 ч, уменьшается
на 3 тонны желтого сахара, по сравнению с
нестесненной кристаллизацией, а средний размер
кристалла уменьшается на 14,7 %.
Рисунок 2. Графики зависимости скорости кристаллизации от содержания сухих веществ
и доброкачественности раствора при температуре 50 и 70 °С
Figure 2. Effect of solids content and solution quality on the crystallization rate at 50 and 70°C
Ккр, гр/(м2·ч)
Рисунок 3. Графики зависимости относительной скорости кристаллизации
от среднего размера кристалла и концентрации (объемной и массовой) кристаллов
Figure 3. Effect of the average crystal size and concentration (volume and mass) on the relative crystallization rate
Рисунок 4. Результаты моделирования не стесненной кристаллизации
Figure 4. Models of unconstrained crystallization
Ккр, гр/(м2·ч)
48
Arapov D.V. et al. Food Processing: Techniques and Technology, 2021, vol. 51, no. 1, pp. 39–52
Выводы
Уточнены уравнения материального баланса
кристаллизационного аппарата, учитывающие
включение несахаров и воды в твердую фазу.
Получено на базе многочисленных экспериментов
обобщенное математическое выражение для расчета
удельной массовой скорости роста сахарного
монокристалла, разработанное с использованием
положений теории вероятности на основе физико-
химических закономерностей процесса [42, 43].
Модель позволяет оценить количество несахаров
и воды, захватываемых кристаллом в процессе
роста. Относительная погрешность модели равна
± 11,3 %. Она позволяет в два раза точнее описать
процесс кристаллизации сахарозы, чем известное
обобщение [39].
Разработана корректирующая поправка,
позволяющая с высокой точностью (ошибка ± 1,3 %)
пересчитать скорость роста одиночного кристалла
сахара, измеряемую в ед. массы/ед. площади/ед.
времени, в скорость роста множества кристаллов при
испарительной изобарической и политермической
массовой кристаллизации в промышленных условиях.
Таким образом, создана обобщенная вероятностная
математическая модель (13)–(26) для описания
удельной скорости роста кристаллов при массовой
кристаллизации сахарозы, которая может быть
использована при имитационном моделировании
процесса, его исследовании и для оптимального
управления в промышленном производстве.
Идентификация модели может быть реализована
подстройкой коэффициента 0 a в формуле (23).
Критерии авторства
Авторы в равной степени участвовали в
подготовке и написании статьи.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта
интересов.
Contribution
All the authors contributed equally to the study and
bear equal responsibility for information published in this
article.
Conflict of interest
The authors declare that there is no conflict of
interests regarding the publication of this article.